Jika A ialah matriks m × n, maka ATA dan AAT mempunyai nilai eigen bukan sifar yang sama … Oleh itu Ax ialah vektor eigen bagi AAT yang sepadan dengan nilai eigen λ. Hujah yang serupa boleh digunakan untuk menunjukkan bahawa setiap nilai eigen bukan sifar AAT ialah nilai eigen ATA, dengan itu melengkapkan bukti.
Adakah nilai eigen AAT dan ATA sama?
Matriks AAT dan ATA mempunyai nilai eigen bukan sifar yang sama. Bahagian 6.5 menunjukkan bahawa vektor eigen bagi matriks simetri ini adalah ortogon.
Adakah ATA sama dengan AAT?
Memandangkan AAT dan ATA adalah simetri sebenar, ia boleh diagonalkan dengan matriks ortogon. Ia berikutan daripada pernyataan sebelumnya (sejak pendaraban geometri & algebra bertepatan) bahawa AAT dan ATA mempunyai nilai eigen yang sama.
Adakah ATA mempunyai nilai eigen yang berbeza?
Benar. Sebagai contoh, jika A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , maka persamaan ciri det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ telah berulang. Oleh itu semua nilai eigen bagi A adalah berbeza dan A boleh diserong. 3.35 Untuk mana-mana matriks A sebenar, AtA sentiasa boleh diserong.
Bolehkah vektor eigen yang berbeza mempunyai nilai eigen yang sama?
Dua vektor Eigen berbeza yang sepadan dengan Nilai eigen yang sama sentiasa bergantung secara linear. Dua vektor Eigen berbeza yang sepadan dengan Nilai Eigen yang sama sentiasa bergantung secara linear.