Contoh: Cincin Z integer Gaussian ialah modul Z yang dijana terhingga dan Z ialah Noetherian. Mengikut Teorem sebelumnya, Z ialah cincin Noetherian. Teorem: Cincin pecahan cincin Noetherian ialah Noetherian.
Adakah Z X cincin Noetherian?
Gelang Z[X, 1 /X] ialah Noetherian kerana ia adalah isomorfik kepada Z[X, Y]/(XY − 1).
Mengapa Z Noetherian?
Tetapi hanya terdapat banyak ideal dalam Z yang mengandungi I1 kerana ia sepadan dengan ideal bagi cincin terhingga Z/(a) oleh Lemma 1.21. Oleh itu rantai tidak boleh panjang tidak terhingga, dan dengan itu Z ialah Noetherian.
Apakah itu domain Noetherian?
Sebarang cincin ideal utama, seperti integer, ialah Noetherian kerana setiap ideal dijana oleh satu elemenIni termasuk domain ideal utama dan domain Euclidean. Domain Dedekind (cth., cincin integer) ialah domain Noetherian di mana setiap ideal dijana oleh paling banyak dua elemen.
Bagaimanakah anda membuktikan cincin adalah Noetherian?
Teorem A cincin R ialah Noetherian jika dan hanya jika setiap set ideal R yang tidak kosong mengandungi unsur maksimum Bukti ⇐=Biarkan I1 ⊆ I2 ⊆··· menjadi rantaian cita-cita menaik R. Letakkan S={I1, I2, …}. Jika setiap set ideal yang tidak kosong mengandungi unsur maksima maka S mengandungi unsur maksima, sebut IN.
